Евгений Иванович Еникеев Пенза облысында қызметкердің отбасында дүниеге келді. Еңбек жолын Воронеж театр мектебін бітіргеннен кейін 1936 жылы бастады. 1946 жылдан бастап актер ретінде жұмыс істей жүріп, режиссурамен айналысты. КСРО – ның көптеген театрларында (Кузнецк, Пенза, Тамбов, Ашхабад, Чарджоу, т.б.) актерлік және режиссерлік қызметті біріктірді.
1959 жылы Е. Еникеев А.В. Луначарский атындағы ГИТИС-дің режиссерлік және актерлік бөлімін бітірді. 1960 жылдан бастап Мичуринск, Курган, Махачкала, Семей театрларында бас режиссер болды. Жарты ғасырдан бері А.П. Чехов атындағы облыстық драма театрда қызмет етті. Оның есебінде бес жүзден астам әртүрлі қойылымдар мен үш жүзден астам рөл бар. Негізгі режиссер-экспериментатор лауазымына кірген Е.Еникеев театрдың көркемдік мәніне басқа стиль, театр тілін және көрермендермен қарым-қатынас жолдарын енгізді. Қойылымдары: С. Смирновтың «Люди, которых я видел» пьесасы, А. Корнейчуктың «Над Днепром» комедиясы, Т. Драйзердің «Дженни Герхард» туындысының инсценировкасы, А. Островскийдің «Бешеные деньги», О. Бальзактың «Мачеха» туындылары көрермендер арасында жоғары бағаға ие болды.
Е. Еникеев өзі де спектакльдерде көптеген рөлдерде ойнады. Арбениннің «Маскарад», Русаковтың «Люди, которых я видел», Гаевтың «Вишневый сад» атты қойылымдарда рөлдерді сомдаған. Ерлік – публицистикалық спектакльдерде ойнады: М. Горькийдің «Последние», Чеховтың «Дядя Ваня», Достоевскийдің «Вечный муж», Гюго пьесасы бойынша «Мария Тюдор», М. Каримнің «В ночь лунного затмения», Назаров пьесасы бойынша «Панфиловцы», Лаврентьев пьесасы бойынша «Чти отца своего».
Е. Еникеев үнемі өзінің кәсіби дағдыларын жетілдірумен айналысатын. 1963 жылы театрда Жоғары режиссерлік курсты ГИТИС профессоры, КСРО халық әртісі Ю.А. Завадский жетекшілігімен Мәскеу Кеңесі атындағы театр жанында аспирантураны бітірді. Көптеген конкурстарда және қарауларда қазылар алқасының мүшелері оның дарынына жоғары баға берген. М. Горькийдің «Враги» және С.Салынскийдің «Мария» пьесаларында Ресей мен Қазақстанның Мәдениет министрліктерінің екінші дәрежелі дипломымен, сондай-ақ И.Назаровтың «Панфиловцы» драмасы бойынша қойылым - КСРО Мәдениет министрлігінің дипломымен марапатталды.
E.И. Еникеев 1995 жылдың 12 қыркүйегінде қайтыс болды.
