Евгений Иванович Еникеев родился в Пензенской области в семье служащего. Трудовую деятельность начал в 1936 году, после окончания Воронежского театрального училища. Работая актером, с 1946 года начал заниматься режиссурой. Совмещал актерскую и режиссерскую деятельность на сценах многих театров СССР (Кузнецк, Пенза, Тамбов, Ашхабад, Чарджоу и др.)
В 1959 году Е. Еникеев окончил режиссерское и актерское отделение ГИТИСа им. А.В. Луначарского. С 1960 г. он был главным режиссером в театрах Мичуринска, Кургана, Махачкалы, Семипалатинска. Полвека он отдал областному драмтеатру им. А.П. Чехова. На его счету свыше пятисот постановок разноплановых спектаклей и более трехсот ролей. Заступив на пост главного режиссера-экспериментатора, Е. Еникеев надолго внес в художественную суть театра совершенно иную стилистику, театральный язык и способы общения со зрителем. Осуществленные им постановки: пьеса С. Смирнова «Люди, которых я видел», комедия А. Корнейчука «Над Днепром», инсценировка произведения Т. Драйзера «Дженни Герхард», «Бешеные деньги» А. Островского, «Мачеха» О. Бальзака получили признание и высокую оценку у зрителей.
Б. Еникеев во множестве поставленных спектаклей играл сам. Им блестяще были созданы образы Арбенина в «Маскараде», Русакова в спектале «Люди, которых я видел», Гаева в «Вишневом саде», Берсенева в «Разломе». Много играл в героико-публицистических спектаклях: «Последние» М. Горького, «Дядя Ваня» Чехова, «Вечный муж» по Достоевскому, «Мария Тюдор» по пьесе Гюго, «В ночь лунного затмения» М. Карима, «Панфиловцы» по пьесе Назарова, «Чти отца своего» по пьесе Лаврентьева.
Е. Еникеев постоянно совершенствовал свое мастерство. В 1963 году окончил Высшие режиссерские курсы, аспирантуру при театре им. Моссовета под руководством профессора ГИТИСа, народного артиста СССР Ю.А. Завадского. Талант режиссера по достоинству оценило жюри многих конкурсов и смотров театрального искусства. Постановки пьес М. Горького «Враги» и С. Салынского «Мария» были удостоены дипломов второй степени Министерства культуры России и Казахстана, а драма И. Назарова «Панфиловцы» - диплома Министерства культуры СССР.
Е.И. Еникеев умер 12 сентября 1995 года.